Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energy) sebagian besar dapat langsung diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk energy:
Dimana i adalah microstate (konfigurasi partikel dalam keadaan kuantum), Ei adalah tingkat energi dari microstate I, T adalah temperatur kesetimbangan sistem, gi adalah faktor degenerasi (jumlah microstates yang mengalami degenerasi yang memiliki tingkat energi yang sama), k adalah konstanta Boltzmann, Ni adalah jumlah molekul pada suhu kesetimbangan T dalam keadaan i yang memiliki energi Ei dan degenerasi gi, dan N adalah jumlah total molekul dalam sistem.
Persamaan 2.1 dapat ditulis tanpa faktor degenerasi gi. Dalam hal ini i tidak menentukan satu set keadaan gi yang memiliki energy Ei yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan memiliki kaitan dengan energy, maka persamaan 2.1 dapat digunakan dalam penurunan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Dimana penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi partisi kanonik.
Semua energy pada kasus sebuah gas ideal yang terdiri dari atom-atom yang tidak berinteraksi pada keadaan dasar berada dalam bentuk energy kinetic, dan nilai gi konstan untuk semua i. Hubungan antara energi kinetik dan momentum untuk partikel yang besar adalah:
Persamaan 2.1 dapat ditulis tanpa faktor degenerasi gi. Dalam hal ini i tidak menentukan satu set keadaan gi yang memiliki energy Ei yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan memiliki kaitan dengan energy, maka persamaan 2.1 dapat digunakan dalam penurunan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Dimana penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi partisi kanonik.
Semua energy pada kasus sebuah gas ideal yang terdiri dari atom-atom yang tidak berinteraksi pada keadaan dasar berada dalam bentuk energy kinetic, dan nilai gi konstan untuk semua i. Hubungan antara energi kinetik dan momentum untuk partikel yang besar adalah:
Dimana p^2 adalah kuadrat dari vektor momentum p = [px, py, pz].
Persamaan 2.1 dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu sebagai berikut:
Dimana Z adalah fungsi partisi. Dalam persamaan ini m adalah massa molekul gas, T adalah suhu termodinamika dan k adalah konstanta Boltzmann.
Distribusi Ni.N sebanding dengan fungsi probabbilitas densitas fp untuk menemukan molekul dengan nilai-nilai komponen momentum ini, maka:
Dengan melihat kemungkinan bahwa sebuah molekul pasti memiliki momentum yang bernilai 1, kita dapat menemukan konstanta normalisasi c. Untuk itu integral dari persamaan 2.4 untuk px, py dan pz harus bernilai 1.
Dapat ditunjukkan bahwa:
Mengganti Persamaan 2.5 ke persamaan 2.4 yang kemudian menghasilkan:
Distribusi ini adalah produk dari tiga variabel independen yang terdistribusi normal. Selain itu, dapat dilihat bahwa besarnya momentum akan didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann.
