Metode Newton Rhapson

1.1  Study Case

Determine the roots of the simultaneous nonlinear equations

(x − 4)2 + (y − 4)2 = 5

x2 + y2 = 16

Use a graphical approach to obtain your initial guesses. Determine refined estimates with the two-equation Newton-Raphson method described in Sec. 6.6.2.

Tentukan akar persamaan nonlinear simultan

(X - 4) 2 + (y - 4) 2 = 5

x2 + y2 = 16

Gunakan pendekatan grafis untuk memperoleh tebakan awal. Tentukan tebakan dengan metode Newton-Raphson yang dijelaskan dalam sub bab. 6.6.2.

1.2  Teori Singkat

Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik

awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.

Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :

Algoritma Metode Newton Raphson :

1.      Definisikan fungsi f(x) dan fB1B(x)

2.      Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3.      Tentukan nilai pendekatan awal xB0B

4.      Hitung f(xB0B) dan fB1B(xB0B)

5.      Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| e ≥

 

Hitung f(xBiB) dan fB1B(xBiB)

6.      Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

1.3   Metode Newton-Raphson

1.3.1        Flow Chart

1.3.2        Pseudo Code

Script yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan:

Script yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan:

1.4  Hasil dan Pembahasan

Persamaan pertama yang diselesaikan adalah:

Sript penyelesaian persamaan dengan menggunakan metode newton-raphson yang diketikkan pada lembar editor adalah sebagai berikut:

function soal1_newtonraphson

  clc;

  clear;

  disp('=============================');

  disp('Program Metode Newton Raphson');

  disp('=============================');

  xa=input('X awal :');

  i=0;

  xb=0;

  disp('____________________________');

  disp(' i           xi          f(xi)');

  disp('____________________________');

  fx=sqrt((xa^2)+(8*xa)+21)+4;

  gx=4*xa^1.5;

  xb=xa-(fx/gx);

  M= abs(xa-xb);

  xa=xb;

  i=i+1;

  fprintf('%3.0f %12.6f %12.6f %12.6f\n',i,xb,fx,M);

  disp('------------------------------')

  fprintf('Akarnya Adalah = %10.8f\n',xb);

end

Berikut output pada command window:

          

            Berikut output pada command window:

 Persamaan kedua yang diselesaikan adalah:

Sript penyelesaian persamaan dengan menggunakan metode newton-raphson yang diketikkan pada lembar editor adalah sebagai berikut:

 function soal2_newtonraphson

  clc;

  clear;

  disp('=============================');

  disp('Program Metode Newton Raphson');

  disp('=============================');

  xa=input('X awal :');

  i=0;

  xb=0;

  disp('____________________________');

  disp(' i           xi          f(xi)');

  disp('____________________________');

  fx=sqrt(16-(xa^2));

  gx=1;

  xb=xa-(fx/gx);

  M= abs(xa-xb);

  xa=xb;

  i=i+1;

  fprintf('%3.0f %12.6f %12.6f %12.6f\n',i,xb,fx,M);

  disp('------------------------------')

  fprintf('Akarnya Adalah = %10.8f\n',xb);

end

Berikut output pada command window:

1.5  Simpulan

Metode Newton Raphson dapat digunakan untuk mencari akar dari suatu persamaan non linier, apabila diasumsikan f mempunyai turunan kontinu f’. Metode ini sering digunakan karena kesederhanaannya dan mempunyai konvergensi yang cepat. Karena metode ini merupakan metode Terbuka, maka tetap diperlukan nilai tebakan awal untuk Xo.